Отношение

ОТНОШЕНИЕ – связь между некоторой сущностью и тем, что с ней соотнесено. Считается, что категорию отношения в философию ввел Аристотель (Аристотель. Соч., т. 2. М., 1978, с. 66), писавший, что нечто «есть то, что оно есть», лишь «в связи с другим или находясь в каком-то ином отношении к другому». Для соотнесенного существовать – значит находиться в каком-либо отношении к другому. По Аристотелю, сущность есть условие возможности отношений. Подразумевается, что всякое отношение соотносит сущности определенных видов (или сортов, как принято говорить в прикладной логике). Однако еще до Аристотеля понятие отношения фактически рассматривалось другими эллинскими мыслителями, в частности Платоном. Для последнего отношение есть связь между идеями, благодаря которой они становятся доступными познанию. От Платона и Аристотеля идет комплекс проблем, связанных с бытием отношений: является ли отношение столь же реальным, что и объекты, в этом отношении находящиеся. Различные философские школы давали на этот вопрос разные ответы. Естественно считать, что отношения между вещами столь же реальны, как и сами вещи, – в том смысле, что нет вещей вне каких-либо отношений и нет отношений, которые не связывали бы какие-либо вещи (явления, события, процессы и т.п.).

В современной логике отношения рассматриваются как многоместные (многочленные) предикаты – в отличие от свойств как одноместных предикатов. Различают двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и вообще n-арные отношения. Уточнение категории «отношение» возможно на различных уровнях абстракции и путем различных процедур формализации. Простейший подход – теоретико-множественный, когда отношение понимается как упорядоченное множество пар (для бинарного отношения), троек (для тернарного отношения), вообще n-ок предметов. Если задан упорядоченный набор (кортеж) <х1, х2,..., хn>, где хi (i = 1, 2, ..., n) – переменные из некоторой предметной области или областей (из множества или множеств, на которых определены соответствующие переменные), то говорят, что между предметами, представляемыми данными переменными, существует отношение R, и записывают это как R (х1, х2,..., хn); при n = 2 – это бинарное отношение, обычно представляемое формулой x1Rx2, – наиболее простой и вместе с тем весьма важный случай отношения, иллюстрируемый, напр., равенствами и неравенствами (х1 = х2, х1  х2) для чисел и выводимостями (х1 ⇒ х2) для высказываний. Совокупность первых элементов, входящих в какое-либо бинарное отношение x1Rx2, называется областью (определения) отношения R, a совокупность вторых элементов – конверсной областью этого отношения, или противообластью. Область и противообласть могут не входить, а могут и входить в одно и то же множество и даже совпадать с ним (обозначим его через М). В этом случае бинарное отношение R на множестве M оказывается подмножеством Декартова произведения М x М, коим является множество всех упорядоченных пар элементов из М. Это означает, что выполнение R для элементов x и y из M равносильно включению кортежа <х, у> в R.

Бинарное отношение как двухместный предикат, интерпретируемый как высказывание x1Rx2 относительно индивидных переменных x1 и х2, обращается в истину при выполнении отношения для некоторых предметов a и b, подставляемых на места переменных x1 и х2. Для бинарных отношений естественно определяются операции дополнения, объединения и пересечения (аналоги соответствующих операций над классами), а также операция умножения (композиции) двух отношений – R1 и R2; а именно R1R2 выполнено для x1 и х2 (т.е. верно высказывание x1R1R2x2), если, и только если, в множестве M существует элемент хk, для к-рого верны как х1R1xk, так и хkR2x2 (если R1 = R2, то данная операция порождает степень отношения R1 и обозначается R12). Для каждого бинарного отношения существует обратное ему отношение R-1, обладающее свойством х1R-1x2 = x2Rx1.

Бинарное отношение R на множестве M геометрически интерпретируемо как граф, множеством вершин которого являются элементы множества M, a отношение x1Rx2 изображается стрелкой (ориентированным ребром графа), к-рое выходит из вершины x1 и входит в вершину х2. Среди бинарных отношений особо важны отношения эквивалентности (типа равенства), толерантности (сходства) и порядка. Эти отношения различаются по тому, выполняются или не выполняются для них свойства рефлексивности (или антирефлексивности), симметричности и транзитивности, имеющие следующий смысл: (1) рефлексивность: для любого объекта хi из M верно высказывание xiRxi, т.е. всякий элемент хi находится сам с собой в данном отношении; (2) симметричность: для любых объектов x1 и х2 из высказывания x1Rx2 следует высказывание x2Rx1; (3) антисимметричность: если верно, что x1Rx2, то обратное отношение x2Rx1 верно, только если R рефлексивно; (4) транзитивность: если выполнены отношения x1Rx2 и x2Rx3, то выполнено и отношение x1Rx3.

Рефлексивное и симметричное отношение R называется отношением толерантности (сходства) или просто толерантностью; антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка; рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (равенства) или эквивалентностью. Эквивалентность задает разбиение множества M на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), так что если для неких x1 и х2 верно x1Rх2, то x1 и х2 принадлежат одному и тому же классу. Отношение толерантности порождает систему классов толерантности: выполнимость x1Rx2 для x1 и х2 означает в этом случае их попадание хотя бы в один общий класс.

Важный случай составляют тернарные отношения, обладающие тем свойством, что для любых xi и хj существует единственный xk, при котором <хi, хj, хk> входит в R. Такое отношение называется (некоторой) операцией, элементы xi и хj – операндами, а элемент хk – результатом операции хk = хi * хj, где * есть знак данной операции. Так, операция сложения чисел соответствует отношению, выполняемому на всех тройках чисел, для которых хk = хi + xj.

На заданной области M можно определить отношение и неопределенной арности, когда R состоит из кортежей разной длины. Например, если М – множество слов, то можно задать отношение ранжированности, которое, по определению, выполняется для любого набора слов, в котором они перечислены в алфавитном порядке.

Для создания т.н. реляционных баз данных полезно формальное описание связи между объектами разных сортов; в этом случае отношение R понимается как подмножество Декартова произведения, определяемого не на единственном множестве M, a на многих множествах M1, M2, ..., Мm.

Ю.А. Шрейдер, Б.В. Бирюков

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. III, Н – С, с. 176-177.

Литература:

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948;

Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971.