Конструктивизм (Кузнецов)

КОНСТРУКТИВИЗМ - в широком смысле направление в математике и философии математики, основанное на представлении о том, что математические объекты можно объявлять существующими в том и только в том случае, если можно указать более или менее приемлемый способ их построения (например, конечное число шагов). В широком смысле слова конструктивистские тенденции в математике прослеживаются в той или иной форме со времен античности. В математике Нового и Новейшего времени уже К. Гаусс отметил принципиальное отличие между потенциальной и актуальной бесконечностями, столь важное для дальнейшего развития К., настаивая на недопущении в математику актуальной бесконечности. Кон-структивистские идеи отчетливо выражены в творчестве и мировоззрении таких математиков, как Л. Кронекер, А. Пуанкаре и др. Однако только в работах Л. Брауэра появляется детально разработанная концепция, реализующая конструктивистские принципы и противостоящая как собственно математическим, так и философско-методологическим аспектам классической (теоретико- множественной) математической традиции (см. Интуиционизм).

В узком смысле К. — направление в математике, основанное советским ученым А.А. Марковым (мл.) и развиваемое математиками его школы. Основное понятие этого направления — нормальный алгоритм. Разделяя в целом конструктивистские в широком смысле принципы, оно в то же время существенно отличается от интуиционизма.

Предметами изучения в конструктивной математике советской школы являются так называемые конструктивные процессы и конструктивные объекты, появляющиеся в результате развертывания конструктивных процессов. Конструктивные процессы допускают лишь абстракцию потенциальной осуществимости. При этом интуитивное понятие построяемости (конструктивности, эффективности) связывается с точным понятием алгоритма. В конструктивной математике советской школы используется специальная, учитывающая специфику конструктивных объектов и процессов конструктивная логика.

Конструктивная математика не разделяет убеждение Брауэра о беспредпосылочном характере математической интуиции, настаивая на том, что эта интуиция формируется на базе практической деятельности человека. В связи с этим представления о конструктивном процессе и объекте имеют своим источником практическую деятельность человека. Определяющей чертой конструктивного процесса является протекающее по отдельным шагам оперирование с элементарными объектами в рамках некоторых четко указанных правил. Элементарные математические объекты — натуральные, целые и рациональные числа трактуются как слова некоторых простых типов в фиксированном алфавите. Отношения равенства и порядка сводятся к графическому совпадению и различию слов. Более сложные структуры: действительные числа, функции и т.д. — строятся на основе понятия алгоритма. Алгоритмом в алфавите А называется «точное общепонятное предписание, определяющее потенциально осуществимый процесс последовательного преобразования абстрактных слов в алфавите А, процесс, до-пускающий любое слово в А в качестве исходного» (Марков А.А. С. 51). Данное понятие алгоритма в дальнейшем подвергалось различным уточнениям (стандартизации), наибольшую известность и применение среди которых приобрело понятие нормального алгоритма. Производя свои построения на основе точного понятия нормального алгоритма, К. отвергает как несоответствующую конструктивным процессам и объектам интуиционистскую концепцию свободно становящейся последовательности и вслед за ней интуиционистскую теорию континуума как среды свободного становления.

На основе исходных методологических принципов и современной математической теории алгоритмов в рамках К. состоятся такие математические дисциплины, как конструктивный математический анализ, теория функций комплексного переменного, конструктивная теория дифференциальных уравнений и т.д. Получаемые в К. теории несколько тяжеловесны и менее прозрачны и элегантны, чем соответствующие теории, возникающие в рамках теоретико-множественной парадигмы. Однако основанные на более ограниченной системе абстракций, чем классические теории, они, тем не менее, мало чем уступают им в своих концептуальных возможностях.

В последние десятилетия намечается некоторая тенденция к сближению интуиционистских и конструктивистских в узком смысле представлений. Это выражается, в частности, в том, что в ряде конструктивистских исследований, в особенности относящихся к семантике, используются индуктивные определения и доказательства, напоминающие построения, встречающиеся в работах Л. Брауэра.

Литература:

Марков А. А. Теория алгорифмов. М., 1954;

Он же. О логике конструктивной математики. М., 1972;

Кушнер Б.А. Конструктивная математика / Математическая энциклопедия. Т. 2. М., 1979;

Проблемы конструктивного направления в математике. Вып. 1—6. М.—Л, 1958-1973.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 261-263.