Основания математики

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ - совокупность исследований, направленных на анализ строгости доказательств и непротиворечивости математических теорий. Как особая сфера исследований оформилась в начале XX в. в связи с проблемой устранения парадоксов, обнаружившихся в теории множеств. Первая задача этих исследований состоит в обосновании строгости признанных доказательств и освобождении существующих математических теорий от парадоксов известных типов. Вторая — в выявлении условий полной надежности математической теории в смысле строгости доказательств и отсутствия противоречий. Первую задачу в настоящее время следует считать в целом решенной, поскольку имеются достаточные основания полагать формализованные доказательства абсолютно строгими (свободными от контрпримеров) и поскольку указаны приемлемые ограничения формулировки аксиом теории множеств, гарантирующие отсутствие в ней парадоксов всех известных типов. Что касается второй задачи, то преобладающее мнение сегодня состоит в том, что она не может быть полностью решена, по крайней мере в рамках чисто логических подходов.

В начале XX в. были сформулированы три программы О.м., а именно логицизм, интуиционизм и формализм. Главная идея логицистской программы, которая была намечена Г. Фреге (1884) и развита позднее Б. Расселом и А. Уайтхедом, состояла в том, чтобы обосновать истинность и непротиворечивость математики через редукцию ее основных теорий (прежде всего арифметики) к элементарным логическим исчислениям. Аксиомы математических теорий должны были быть представлены в виде тавтологий, имеющих чисто логическое оправдание. Фреге и Рассел исходили из того безусловно правильного положения, что простые требования логики являются наиболее надежной частью нашего понятийного мышления. Однако была показана принципиальная нереализуемость этой программы, поскольку выяснилось, что такие важные принципы математики, как аксиома бесконечности и аксиома выбора, не могут быть представлены в качестве истин логики.

Программа интуиционизма, сформулированная Ж. Брауэром в 1907 г., ставит своей задачей оправдать математические теории, опираясь исключительно на собственные интуиции математики, а именно исходя из первичной интуиции числа и из интуитивного представления о правильной математической конструкции. Эта программа не предполагает использования аксиоматики и логических средств анализа. О.м. должно состоять в представлении ее объектов как воспроизводимых посредством интуитивно ясной конструкции и в оправдании свойств этих объектов либо из самого процесса конструирования, либо на основе системы логических выводов, не разрушающих возможности прямого конструктивного оправдания. Это последнее условие ведет к существенному сокращению приемлемых логических средств: логическое обоснование в рамках интуиционизма не допускает использования закона исключенного третьего и правила снятия двойного отрицания применительно к бесконечным множествам, а также связано с ограничениями использования кванторов общности и существования. Хотя принято считать, что интуиционистски оправданная часть математики является абсолютно гарантированной от противоречий, интуиционистская программа в целом должна быть также признана несостоятельной по той причине, что она заведомо недостаточна для реконструкции центральных областей математики, имеющих практические оправдание.

Формалистская программа обоснования математики, предложенная Д. Гильбертом, состоит в отыскании методов прямого (абсолютного) обоснования непротиворечивости математической теории, не опирающихся на ее редукцию к другим теориям. Основным понятием программы Гильберта является понятие несомненно истинной содержательной метатеории, в которой могла бы быть с полной достоверностью обоснована непротиворечивость формализованного аналога теории, а именно невозможность выведения в нем формул, выражающих противоречие. К. Гедель, однако, показал (1931), что такого рода метод в принципе не приложим к арифметике и ко всем более сложным теориям, включающим арифметику.

Крушение основных программ О.м. привело к пессимистическим выводам относительно разрешимости этой задачи вообще, которые преобладают и в современной философии математики. Имеются, однако, попытки наметить принципиально новые подходы к проблеме в рамках логики (см., например, Финитизм). Другой еще недостаточно использованный ресурс продвижения вперед в решении проблем О.м. находится в сфере теории познания, а именно в углублении наших представлений о статусе математических идеализаций и логики.

Литература:

Рассел Б. Введение в математическую философию. Новосибирск, 1996;

Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. М., 1978;

Frege G. Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchun- genuberden BegrifTder Zahl, Breslau, 1884;

Brouwer L.E.J. Collected Works, Vol. 1. Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam—Oxford, 1975;

Frege and Godel. Two fundamental texts in mathematical logic. Ed. by Jean van Heijenoort. Cambridge (Mass.), 1970.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 395-396.