Логика высказываний (Кузнецов, 2007)

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ - раздел символической логики, изучающий рассуждения и другие языковые контексты без учета внутренней структуры входящих в них простых высказываний. В связи с этим, язык Л.в. содержит нелогические символы лишь одного типа — пропозициональные переменные, которые выступают в роли параметров простых высказываний естественного языка. Логические символы в Л.в. также принадлежат одному типу. Это пропозициональные связки, образующие из менее сложных формул (предложений) более сложные.

Наиболее употребимы следующие пропозициональные связки: «¬» — отрицание («неверно, что...»), «&» («») — конъюнкция («и»), «v» — нестрогая дизъюнкция («или»), «v» — строгая дизъюнкция («либо... либо...»), «⇒» — импликация («если..., то...»), «⇔» — эквиваленция («если и только если»).

Л.в. как раздел логики включает множество логических систем. Наиболее фундаментальной среди них является классическая Л. в., в основе которой лежат принципы двузначности и экстенсиональности. В этой теории каждая формула может иметь ровно одно из двух значений — «истина» или «ложь». Пропозициональные связки рассматриваются здесь как знаки функций истинности — функций, аргументами и значениями которых являются истинностные оценки — элементы множества {истина, ложь}.

В классической Л.в. принимаются следующие условия истинности и ложности формул: формула ¬А истинна, если и только если формула А ложна; формула А&В истинна, если и только если и А, и В истинны; формула A v В истинна, если и только если по крайней мере одна из формул — А или В — истинна; формула A v В истинна, если и только если ровно одна из формул — либо А, либо В — истинна; формула А ⇒ В истинна, если и только если формула А ложна, или формула В истинна; формула А В истинна, если и только если формулы А и В принимают одинаковые значения.

Законами классической Л.в. (тождест-венно-истинными формулами) называют формулы, принимающие значение «истина» при любых наборах значений входящих в них пропозициональных переменных.

В силу того что множество функций ис-тинности бесконечно, в Л .в. важен вопрос о существовании конечных наборов пропози-циональных связок (их называют функционально полными системами связок), таких, что любая функция истинности может быть выражена формулой, содержащей лишь связки из данного набора. Примерами функционально полных систем связок являются {¬ &},{¬, v}, {¬,}.

Для семантически построенной классической Л.в. существуют адекватные логические исчисления (класс их теорем совпадает с множеством тождественно-истинных формул). Среди свойств классического исчисления высказываний следует особо отметить синтаксическую полноту — непополнимость ее недоказуемыми формулами (если исчисление строится с конечным числом аксиом и правилом подстановки), а также разрешимость, т.е. существование алгоритма, позволяющего решать вопрос о доказуемости или недоказуемости произвольной формулы.

Неклассические системы Л.в. получаются за счет отказа от принципов, лежащих в основе классической логики. Так, в многозначных логиках существуют более чем две истинностные оценки формул. В модальных логиках рассматриваются особые пропозициональные связки — модальные операторы, не являющиеся знаками функций истинности (необходимость, возможность, случайность и др.). Релевантные логики ставят своей задачей адекватную логическую экспликацию условной связи, каковой нельзя считать импликацию классической Л.в., т.к. она является экстенсиональной связкой и не выражает содержательных отношений между высказываниями. 

Основы Л.в. были заложены уже в логике стоиков. Многие законы этой теории и формы правильных рассуждений были выделены в средневековой логике. В современном виде Л.в. была оформлена в работах Г. Фреге, Б. Рассела и А. Уайтхеда, а также Д. Гильберта и его учеников.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 284-285.